מה הן (ומה אינן) אליפסות שגיאה יחסיות?

אליפסות שגיאה יחסיות מציגות את השגיאה האקראית במיקום האופקי בין שתי נקודות, וזה בדיוק מה שנבדק בכמה מתקני הדיוק החשובים למדידות גבולות מקרקעין, כגון התקן Minimum Standard Detail Requirements for ALTA/NSPS Land Title Surveys וכן Wis. Admin. Code A-E 7.06. האליפסות גמישות מאוד, ויכולות לתאר שגיאה בין נקודות המחוברות בכל שילוב של מדידות. עם זאת, המתמטיקה שמאחוריהן מורכבת, ולכן קיימת לעיתים בלבול ואף חוסר הסכמה לגבי הדרך לעמוד בתקנים כאלה. מטרת מאמר זה היא להסביר מה הן אליפסות שגיאה יחסיות — ומה הן אינן — במיוחד ברמת ביטחון של 95% המקובלת בתקנים. ההסבר כאן מפושט לצורך קיצור והתמקדות בפרשנות תוצאות התאמה (Adjustment), אך מניח ידע בסיסי בשגיאות אקראיות ובהתאמות Least Squares.

איור 1: אליפסת שגיאה כקו קונטור

מה הן אליפסות שגיאה יחסיות:

1.1

באופן גרפי, אליפסת שגיאה מציגה אי־ודאות דו־ממדית הנובעת משגיאה אקראית. הערך האמיתי נמצא כנראה בתוך האליפסה (ברמת ביטחון מסוימת), וסביר ביותר שהוא נמצא במרכזה. האליפסה היא קו קונטור של הסתברות שווה על פני משטח של התפלגות נורמלית (בצורת פעמון).

משטח ההתפלגות הנורמלית מורכב יותר מהעקומה הנורמלית שבה אנו משתמשים למשתנים חד־ממדיים (כגון קואורדינטה בודדת, מרחק או זווית), ולכן ישנם הבדלים — במיוחד במקדם הביטחון של 95% (ראה סעיף 1.8).

1.2

אליפסות שגיאה יחסיות שונות מאליפסות שגיאה של נקודה.אליפסת שגיאה של נקודה מתארת את אי־הוודאות של נקודה אחת ביחס לנקודות קבועות.אליפסת שגיאה יחסית מתארת את אי־הוודאות של נקודה אחת ביחס לנקודה אחרת (כלומר אי־הוודאות של הפרשי הקואורדינטות של הקו, או של המרחק והאזימוט שלו).

1.3

מבחינה מתמטית, אליפסות שגיאה מחושבות מתוך מטריצת שונות-קווריאנציה (variance-covariance matrix), שבדרך כלל מתקבלת מתוך התאמת Least Squares. המטריצה מתארת כמה שגיאה אקראית קיימת בכל קואורדינטת X או Y של כל נקודה, וכן כיצד השגיאות של כל קואורדינטה מתואמות (קווריאנציה) עם השגיאות של כל הקואורדינטות האחרות.

אליפסת שגיאה של נקודה מחושבת מתוך 3 ערכים במטריצה: שונות X, שונות Y, וקווריאנציה XY.אליפסת שגיאה יחסית מחושבת מתוך ערכים של שתי נקודות, כלומר 4 קואורדינטות — ולכן מתקבלים 10 זוגות של שילובי שגיאות (4+3+2+1), כלומר 10 ערכים במטריצה.

המתמטיקה מורכבת, אך מספר הערכים המעורבים מדגיש עד כמה אליפסת שגיאה יחסית מורכבת יותר מאליפסות נקודתיות.

איור 2: ממדי האליפסה

1.4

אליפסות שגיאה (גם נקודתיות וגם יחסיות) מתוארות בסופו של דבר באמצעות שלושה פרמטרים:הציר החצי־ראשי (semi-major axis), הציר החצי־משני (semi-minor axis), והאזימוט של הציר החצי־ראשי, המתאר את הכיוון. האליפסות גם מוכפלות (סקיילינג) מספר פעמים (ראה סעיפים 1.7 ו-1.8).

משתמשים במידות "חצי" (כמו רדיוס) ולא ברוחב הכולל (כמו קוטר), משום שאנו מתעניינים במרחק האפשרי בין הערך האמיתי לבין הערך הסביר ביותר (מרכז האליפסה), ולא בטווח הכולל של הערכים האפשריים.

1.5

עבור אליפסות שגיאה נקודתיות ויחסיות, הגודל היחסי שלהן (בהשוואה לשאר האליפסות ברשת) נקבע כמעט לחלוטין על ידי:

1. מיקומי הנקודות המשוערים

2. סוג המדידות המחברות ביניהן

3. סטיות התקן שהמשתמש הגדיר למדידות (שמשמשות למשקול ההתאמה)

ערכי המדידות עצמם משפיעים על הקואורדינטות המדויקות של הנקודות, והרזידואלים (השינויים שנעשו במדידות כדי להתאים ביניהן) משפיעים על הגודל הכולל של כל האליפסות — אך רק באופן כללי. לכן חשוב מאוד להגדיר בצורה אמינה את סטיות התקן של המדידות, כולל שגיאות מכשיר ומרכזים.

1.6

בהתבסס על האמור לעיל, ניתן לחשב אליפסות שגיאה גם ללא ביצוע התאמה כלל. יש תוכנות (כגון Microsurvey StarNet) שיכולות ליצור אליפסות גם ללא מדידות עודפות (למשל מדידות צד או טרוורס פתוח). תוכנות אחרות דורשות מדידות עודפות, אך לא בהכרח לכל נקודה.

לכן, עצם קיומה של אליפסת שגיאה אינו מעיד על כך שנקודה מסוימת נבדקה באופן עצמאי.

סקיילינג של אליפסות:

1.7

ראשית, האליפסות עשויות להיות מוכפלות לפי סטיית התקן של יחידת משקל של ההתאמה (standard deviation of unit weight), הידועה גם כ-reference factor או total error factor. זהו למעשה יחס בין הרזידואלים (כמה המדידות השתנו בהתאמה) לבין סטיות התקן שהמשתמש הגדיר (כמה ציפית שהשינויים יהיו).

אנו מצפים שהפקטור יהיה סביב 1. אם אין התאמה, הפקטור נקבע ל-1.חלק מהתוכנות מגדילות ומקטינות את האליפסות לפי הפקטור, אחרות רק מגדילות. יש גם תוכנות שמגדילות רק אם הפקטור גדול מ-1 באופן מובהק סטטיסטית (לפי מבחן חי-בריבוע), מתוך הנחה שערכים קטנים או מעט גדולים מ-1 הם תוצאה של מזל בלבד.

איור 3: אליפסת 95% מול מלבן שגיאה של 95%

בדיקת מקדם 95% באקסל:

הנוסחה הכללית היא:=SQRT(df1*F.INV(0.95,df1,df2))

1=  למשתנים חד־ממדיים df1

2= למשתנים דו- ממדיים (אליפסות) df1

אינסוף (9999999) עבור "אוכלוסיה" = df2

דרגות חופש של הרשת עבור "מדגם" =df2

(הטבלה נשמרת לפי המקור — ללא שינוי)

1.8

שנית, האליפסות מוכפלות גם לצורך מעבר מ"גודל סטנדרטי" לרמת ביטחון של 95%, באמצעות מקדם של לפחות 2.45 (מעוגל). זה גדול מהמקדם 1.96 שאנו רגילים לקשר עם 95%.

הסיבה היא שאליפסת שגיאה היא דו־ממדית, ולכן יש להגדיל אותה יותר כדי לכלול 95% מהנפח של ההתפלגות. לעומת זאת, במשתנים חד־ממדיים (כגון קואורדינטה, מרחק או זווית), מקדם 1.96 מספיק כדי לכלול 95% מהשטח.

איור 3 מדגים כי חלק גדול מהאליפסה נמצא מחוץ למלבן שגיאת הקואורדינטות של 95%, דבר שנראה מוזר אך נכון מתמטית.

בנוסף, חלק מהתוכנות משתמשות במקדמים גדולים יותר, משום שהן מניחות שסטיות התקן שהוגדרו הן מדגם קטן ולא אוכלוסייה אמינה. המקדמים הללו תלויים בדרגות החופש של ההתאמה.

ככל שדרגות החופש גדלות לאינסוף, המקדמים מתקרבים ל-1.96 (חד־ממדי) ול-2.45 (דו־ממדי). תוכנות שונות משתמשות בהנחות שונות או מאפשרות בחירה.

לגבי שיטות הסקיילינג השונות — ייתכן שבעתיד תהיה אחידות, אך נכון לעכשיו יש הבדלים בין תוכנות. חשוב להבין את ההבדלים ואת המשמעות שלהם, שנובעת מהאמון בסטיות התקן שהמשתמש הגדיר.

מה אליפסות שגיאה יחסיות אינן:

2.1

אליפסות שגיאה יחסיות אינן אליפסות שגיאה של נקודה.

2.2

אליפסות שגיאה יחסיות אינן מוגבלות לנקודות המחוברות ישירות במדידות. ניתן לחשב אותן בין כל שתי נקודות ברשת.

איור 4: אליפסות יחסיות במבנה מורכב

2.3

אליפסות שגיאה יחסיות אינן בהכרח פונקציה פשוטה של אליפסות הנקודות בקצות הקו.במקרים פשוטים (למשל מדידות RTK עצמאיות), ניתן להשתמש בכלל "שגיאה של סכום". אך במקרים מורכבים יותר, עם קווריאנציה בין נקודות או בין קואורדינטות, יש לבצע חישוב מלא מתוך המטריצה.

2.4

אליפסות שגיאה יחסיות אינן זהות לשגיאות מחושבות של אזימוט ומרחק.בעיות כוללות:

• כיוון האליפסה

• מקדמי סקיילינג שונים (1.96 מול 2.45)

2.5

אליפסות שגיאה יחסיות אינן בלתי תלויות בנקודות הקבועות. שינוי נקודות הקיבוע יכול לשנות את התוצאה ואף "לשחק" עם הסטטיסטיקה כדי לעמוד בתקן.

הגישה הנכונה היא לקבע נקודות נכונות (למשל בסיס GNSS), ולשפר את הרשת באמצעות מדידות נוספות.

איור 5: השפעת שינוי נקודות קיבוע

2.6

אליפסות קטנות אינן מבטיחות שאין טעויות גסות או שגיאות שיטתיות, ואינן מבטיחות שהן משקפות את השגיאה האמיתית.

2.7

אליפסות אינן כלי טוב לזיהוי טעויות.רזידואלים גדולים משפיעים על כל הרשת — לא רק מקומית.זיהוי טעויות נעשה באמצעות ניתוח הרזידואלים עצמם.

סיכום:

אם באמת רוצים לדעת את אי־הוודאות של 95% בין שתי נקודות A ו-B — יש לבצע את המדידה 1,000 פעמים, לחשב 1,000 הפרשי קואורדינטות, ולבנות אליפסה הכוללת 950 מהן.

זה כמובן לא מעשי, ולכן משתמשים בתיאוריה סטטיסטית כדי להעריך זאת.

אליפסות שגיאה והתאמות Least Squares הן מורכבות, תלויות מאוד בהגדרות המשתמש, ותוכנות שונות מטפלות בהן בצורה שונה. עם זאת, הן כלי אוניברסלי וגמיש מאוד, ולכן תקני דיוק מודרניים מבוססים עליהן.

נקודה חשובה מאוד:

אליפסות שגיאה אינן ערובה למדידה טובה.

הן אינן מחליפות:

• ניסיון מקצועי

• בדיקות שטח

• שיקול דעת של מודד מוסמך

הכלי החשוב ביותר — הוא עדיין המודד.