מהן (ומה אינן) אליפסות שגיאה יחסיות?

אליפסות שגיאה יחסיות מציגות את השגיאה האקראית המיקומית האופקית בין שתי נקודות, וזהו המדד הנבדק בכמה מתקני הדיוק החשובים ביותר עבור סקרי גבולות מקרקעין, כגון דרישות התקן המינימליות המפורטות עבור סקרי תביעות זכויות מקרקעין של ALTA/NSPS, וכן קוד המנהל של ויסקונסין Wis. Admin. Code A-E 7.06. אליפסות אלו הן גמישות להפליא ומסוגלות לתאר שגיאה בין נקודות המחוברות באמצעות כל שילוב של מדידות. עם זאת, המתמטיקה שבבסיסן מורכבת, ולכן קיימים בלבול וחוסר הסכמה מסוימים לגבי האופן שבו ניתן לעמוד בתקנים אלו. מטרת מאמר זה היא להסביר מהן אליפסות שגיאה יחסיות ומה הן אינן, במיוחד ברמת סמך (רמת ביטחון) של 95% המשמשת בדרך כלל בתקנים. הדברים מופשטים כאן כדי לשמור על תמציות ולהתמקד בפרשנות של תוצאות התאמה (תסבולת), אך מונח כאן ידע בסיסי מסוים בשגיאות אקראיות ובהתאמות בשיטת הריבועים הפחותים.

מהן אליפסות שגיאה יחסיות:

1.1. מבחינה גרפית, אליפסת שגיאה מציגה אי-ודאות דו-ממדית הנובעת משגיאה אקראית. הערך האמיתי נמצא ככל הנראה בתוך האליפסה (באחוז סמך מסוים), ובהסתברות הגבוהה ביותר הוא נמצא במרכזה. האליפסה היא קו מתאר (קו גובה) של הסתברות שווה על פני משטח של התפלגות נורמלית (עקומת פעמון).

משטח ההתפלגות הנורמלית מורכב יותר מעקומת ההתפלגות הנורמלית שבה אנו משתמשים עבור משתנים חד-ממדיים (כמו קואורדינטה בודדת, מרחק או זווית), ולכן כמה דברים שונים בו, במיוחד מכפיל רמת הסמך של 95% (סעיף 1.8).

1.2. אליפסות שגיאה יחסיות שונות מאליפסות שגיאה נקודתיות. אליפסת שגיאה נקודתית מתארת את אי-הוודאות של נקודה בודדת ביחס לנקודות קבועות (תחנות יסוד). אליפסת שגיאה יחסית מתארת את אי-הוודאות של נקודה אחת ביחס לנקודה אחרת (אי-הוודאות של הפרשי הקואורדינטות של הקו, או של המרחק והאזימוט שלו).

1.3. מבחינה מתמטית, אליפסות שגיאה מחושבות מתוך מטריצת השונות והשונות המשותפת (variance-covariance matrix), אשר מגיעה בדרך כלל מהתאמה בשיטת הריבועים הפחותים. מטריצה זו מציינת כמה שגיאה אקראית יש לקואורדינטת ה-X או ה-Y של כל נקודה, וכיצד השגיאה של כל קואורדינטה נמצאת במתאם (בעלת שונות משותפת - קובריאנס) עם השגיאה של כל קואורדינטה אחרת. אליפסת שגיאה נקודתית מחושבת מתוך 3 איברים במטריצה של נקודה אחת: שגיאות X ו-Y (שונות), ושונות משותפת XY. אליפסת שגיאה יחסית מחושבת מתוך איברי המטריצה של שתי נקודות, מה שכולל 4 קואורדינטות, ולכן 10 = 1+2+3+4 זוגות של שילובים של שגיאות, כלומר 10 איברים במטריצה. המתמטיקה מורכבת, אך מספר האיברים המעורבים במטריצה מראה כיצד אליפסת שגיאה יחסית מורכבת יותר מאליפסות השגיאה הנקודתיות שבשני קצותיה.

1.4. אליפסות שגיאה (נקודתיות ויחסיות) מתוארות בסופו של דבר על ידי 3 פרמטרים: הציר החצי-ראשי (ה"רדיוס הגדול") והציר החצי-משני (ה"רדיוס הקטן") מתארים את הגודל; והאזימוט של הציר החצי-ראשי מתאר את הכיוון (אוריינטציה). אליפסות גם מוגדלות או מוקטנות (מנורמלות) מספר פעמים (סעיפים 1.7 ו-1.8). אנו משתמשים בממד ה"חצי" (כמו רדיוס) במקום ברוחב הכולל (כמו קוטר), משום שאכפת לנו מהמרחק שבו הערך האמיתי יכול להיות מהערך המסתבר ביותר שלנו (מרכז האליפסה), ולא מהטווח הכולל של הערכים האמיתיים האפשריים.

1.5. הן עבור אליפסות שגיאה נקודתיות והן עבור אליפסות שגיאה יחסיות, הגדלים היחסיים שלהן (כל אליפסה בהשוואה לכל האחרות ברשת) נקבעים כמעט לחלוטין על ידי: 1) המיקומים המקורבים של הנקודות; 2) המדידות הקושרות אותן יחד; ו-3) שגיאות התקן המוערכות על ידי המשתמש עבור אותן מדידות (הקובעות את המשקלות בהתאמה). הערכים הנמדדים בפועל משפיעים כמובן על הקואורדינטות המדויקות של הנקודות, והשאריות של המדידות (המידה שבה כל מדידה בפועל השתנתה כדי להסכים עם האחרות) משפיעות על הגודל הכולל של כל האליפסות, אך רק על הגודל הכללי. זו הסיבה שכל כך חשוב להיות כנים לגבי שגיאות התקן המוערכות על ידי המשתמש, כולל מרכוז המכשיר והמטרה (פריזמה).

1.6. בהתבסס על האמור לעיל, ניתן לחשב אליפסות שגיאה ללא כל התאמה כלל. יישומים מסוימים (כגון Microsurvey StarNet) יכולים להפיק אותן ללא כל מדידות עודפות (רק מדידות ישירות/קריאות צד, או פוליגון פתוח). רוב היישומים דורשים מדידות עודפות מסוימות, אך לא בהכרח לכל נקודה. לכן, נוכחותה של אליפסת שגיאה אינה מעידה על כך שלנקודה מסוימת הייתה בדיקה עצמאית.

אליפסות שגיאה נקודתיות ויחסיות, ושגיאות מחושבות אחרות, מוגדלות או מוקטנות בדרך כלל פעמיים, כמתואר להלן:

1.7. ראשית, הן עשויות להיות מוגדלות או מוקטנות לפי סטיית התקן של משקל היחידה של ההתאמה (הידועה גם כגורם הייחוס, או גורם השגיאה הכולל), שהיא בעצם יחס כולל של השאריות (כמה המדידות היו צריכות להשתנות בהתאמה) חלקי שגיאות התקן המוערכות על ידי המשתמש (כמה גדולות ציפית שהשאריות הללו יהיו). אנו מצפים שגורם זה יהיה בסביבות 1. אם אין מה להתאים, הגורם נקבע כברירת מחדל ל-1 (ללא שינוי קנה מידה). אפליקציות רבות משנות את קנה המידה הן כלפי מעלה (>1) והן כלפי מטה (<1). יישומים מסוימים (כגון Microsurvey StarNet) משנים את קנה המידה רק כלפי מעלה ולא כלפי מטה, מתוך התפיסה שגורם קטן הוא רק עניין של מזל, ואינו אומר ששגיאות התקן המוערכות על ידי המשתמש הן באמת גדולות מדי. כדי להפוך את העניין למורכב עוד יותר, יישומים מסוימים (כגון Microsurvey StarNet) משנים את קנה המידה כלפי מעלה רק אם הגורם "גדול באופן מובהק סטטיסטית" מ-1 (לפי מבחן כי בריבוע - Chi Square), מתוך התפיסה שגורם הגדול "במעט" מ-1 הוא גם רק עניין של מזל, ואינו אומר ששגיאות התקן המוערכות על ידי המשתמש הן באמת קטנות מדי.

1.8. שנית, אליפסות שגיאה מוגדלות גם מגודלן "הסטנדרטי" לרמת סמך של 95% באמצעות גורם של לפחות 2.45 (מעוגל). זהו נתון גדול מה-1.96 שאנו מקשרים בדרך כלל לרמת סמך של 95%. הוא גדול יותר משום שאליפסת שגיאה היא דו-ממדית, ויש להגדיל אותה פי 2.45 כדי להקיף 95% מהנפח שמתחת למשטח ההתפלגות הנורמלית. השוו זאת למשתנים חד-ממדיים (קואורדינטה בודדת, מרחק או זווית), שבהם מכפיל של 1.96 מקיף 95% מהשטח שמתחת לעקומת ההתפלגות הנורמלית. איור 3 (במאמר המקורי) מראה כיצד הדבר מציב חלק גדול מאליפסת ה-95% מחוץ למלבן שגיאת הקואורדינטות של 95%, מה שנראה מוזר, אך זה המצב. כדי לסבך את הדברים עוד יותר, אפליקציות מסוימות משתמשות במכפילים גדולים עוד יותר של 95%, מכיוון שהן מניחות בעיקרו של דבר ששגיאות התקן המוערכות על ידי המשתמש (עבור קביעת המשקלות) הן רק קבוצה קטנה ובלתי אמינה של שגיאות תקן של "מדגם", ולא שגיאות תקן אמינות של "אוכלוסייה". המכפילים הגדולים יותר תלויים בדרגות החופש (מספר המדידות העודפות) בהתאמה. ככל שדרגות החופש שואפות לאינסוף, המכפילים שואפים ל-1.96 (חד-ממד) ו-2.45 (דו-ממד). אפליקציות שונות משתמשות בהנחה זו או אחרת, או מאפשרות לך לבחור. לדוגמה, Microsurvey StarNet ו-Trimble Business Center משתמשות בהנחת ה"אוכלוסייה" (תמיד 1.96 ו-2.45). Carlson SurvCE מעניקה לך אפשרות בחירה. ספר הלימוד של ד"ר צ'ארלס גילאני (Dr. Charles Ghilani), Adjustment Computations (בהוצאת John Wiley & Sons), משתמש מזה זמן רב בהנחת ה"מדגם".

לגבי שני הסוגים של שינוי קנה המידה של האליפסה, אולי כולנו נהיה באותו קו בעתיד, אך ההבדלים הללו קיימים כנראה מאז שהתחלנו להשתמש במחשבים. לעת עתה לפחות, היו מודעים לגישות השונות ולחשיבה שעומדת מאחוריהן, המתמצה במידת האמון שלכם בשגיאות התקן של המדידות שהוערכו על ידי המשתמש.

בדיקת שינוי קנה מידה של 95% באקסל:

הנוסחה הכללית למכפיל 95% באקסל היא:

=SQRT(df1*F.INV(0.95,df1,df2))

df1 = 1 עבור משתנים חד-ממדיים

df1 = 2 עבור משתנים דו-ממדיים (אליפסות)

df2 = אינסוף (השתמשו ב-9999999) עבור הנחת ה"אוכלוסייה"

df2 = דרגות החופש של הרשת עבור הנחת ה"מדגם".

מכפילים נבחרים של 95% מפורטים להלן. שימו לב כמה גדולים הם נהיים עם דרגות חופש מעטות (df2).

df2	1-D (df1=1)	2-D (df1=2)
1	12.7062	19.9750
2	4.3027	6.1644
3	3.1824	4.3708
10	2.2281	2.8645
25	2.0595	2.6020
100	1.9840	2.4849
150	1.9759	2.4724
9999999	1.9600	2.4477

מה אליפסות שגיאה יחסיות אינן:

2.1. אליפסות שגיאה יחסיות (אי-ודאות בין שתי נקודות) אינן אליפסות שגיאה נקודתיות (אי-ודאות של נקודה ביחס לנקודות קבועות).

2.2. אליפסות שגיאה יחסיות אינן מוגבלות לשתי נקודות המחוברות ישירות באמצעות מדידות. ניתן לחשב אותן בין כל שתי נקודות ברשת. לדוגמה, באיור 5, הנקודות מחוברות ישירות באמצעות מדידות מרחק וזווית, אך באיור 4 הן אינן מחוברות כך. איורים 4 ו-5 מציגים רק אליפסות שגיאה יחסיות בין נקודות סמוכות, אך הן קיימות גם בין נקודות מרוחקות יותר.

2.3. אליפסות שגיאה יחסיות אינן בהכרח פונקציה פשוטה של אליפסות הנקודה שבשני קצותיהן. מצב פשוט שבו הן כן כאלו, יהיה שתי נקודות שנמדדו באופן עצמאי באמצעות RTK GNSS (ללא שונות משותפת בין הנקודות), כאשר כל אליפסת שגיאה נקודתית היא מעגלית (אין יותר שגיאת X משגיאת Y, וללא שונות משותפת בין שגיאת X ל-Y בנקודה). במצב פשוט שכזה, התפשטות השגיאות המורכבת מצטמצמת לעיקרון "שגיאה של סכום", שבו הרדיוס של אליפסת השגיאה היחסית (המעגל) הוא שורש ריבועי של סכום הריבועים של הרדיוסים של כל מעגל שגיאה נקודתי (המעגלים המקווקווים באיור 4). במצבים מורכבים יותר, כמו כאשר מדידות קושרות נקודות יחד באופן מקומי, יכולה להיות שונות משותפת בין הנקודות, ו/או שונות משותפת בין הקואורדינטות של נקודה בודדת. לכן באופן כללי, עיקרון "שגיאה של סכום" לא תמיד חל, ויש לחשב את אליפסת השגיאה היחסית האמיתית באופן קפדני מתוך מטריצת השונות והשונות המשותפת.

2.4. אליפסות שגיאה יחסיות אינן זהות לחלוטין לשגיאות האזימוט והמרחק המחושבות בין נקודות. בעיה אחת היא הכיוון (אוריינטציה) — אם צירי האליפסה אינם מיושרים במקביל / במאונך לקו, אזי הציר החצי-ראשי יכול להיות גדול יותר הן משגיאת האזימוט והן משגיאת המרחק של הקו. עד כמה הוא גדול יותר תלוי בצורת האליפסה ובכיוון שלה. בעיה נוספת היא שינוי קנה המידה לרמת סמך של 95% — אפליקציות מסוימות מניחות ששגיאות האזימוט והמרחק של הקו הן שגיאות חד-ממדיות נפרדות, ומגדילות אותן ל-95% פי 1.96 במקום פי 2.45 (או קני מידה גדולים יותר לפי סוגיית ה"מדגם" לעומת "אוכלוסייה" בסעיף 1.8). אפליקציות אחרות מניחות ששגיאות האזימוט והמרחק פועלות יחד כדי לתאר שגיאה דו-ממדית, ולכן מגדילות אותן פי 2.45 כפי שמגדילים אליפסות שגיאה.

2.5. אליפסות שגיאה יחסיות אינן בהכרח בלתי תלויות בשאלה אילו נקודות מוגדרות כקבועות (נקודות תפוסות/אחוזות). שקלו צמד נקודות "רחוקות יותר" מנקודות קבועות (עם קשרים חלשים יותר אליהן) (איור 5). מן הסתם, אליפסות השגיאה הנקודתיות שלהן צריכות להיות גדולות יותר. אליפסת השגיאה היחסית שלהן יכולה להיות גדולה יותר גם כן, בעיקר משום שרכיב הכיוון (אזימוט) של אותה שגיאה הוא ביחס לצפון, ולא ביחס לקו סמוך. אפילו עם אילוצים אופקיים מינימליים של נקודה קבועה אחת ואזימוט קבוע אחד, הזזת אותם אלמנטים קבועים קרוב יותר לנקודות הבעייתיות יכולה לכווץ הן את אליפסות השגיאה הנקודתיות והן את אליפסות השגיאה היחסיות. זהו סוג השינוי שיכול "לשחק עם הסטטיסטיקה" רק כדי לעמוד בתקן. הדבר הנכון לעשות הוא לקבע את מה שצריך לקבע (ככל הנראה תחנת/תחנות הבסיס של ה-GNSS, או קו הרשת), ובמקום זאת לשפר את הרשת שלכם, ככל הנראה על ידי הוספת מדידות GNSS באזור הבעייתי.

2.6. אליפסות שגיאה קטנות (נקודתיות או יחסיות) אינן מבטיחות כשלעצמן ששגיאות גסות (blunders) או שגיאות שיטתיות הוסרו, או אפילו שהאליפסות באמת מציגות את כמות השגיאה האקראית הנוכחת. זכרו כי ניתן להפיק אליפסות שגיאה עבור קריאות צד שלא נבדקו, וכי הגודל היחסי של כל אליפסה בהשוואה לכל האחרות תלוי מאוד בשגיאות התקן של המדידות שהוערכו על ידי המשתמש.

2.7. אליפסות שגיאה (נקודתיות או יחסיות) אינן כלי טוב לזיהוי שגיאות גסות. שאריות מדידה גדולות בחלק אחד של הרשת אינן מגדילות רק את האליפסות הסמוכות. במקום זאת, השאריות הגדולות מגדילות את סטיית התקן הכוללת של משקל היחידה, דבר שמשנה את קנה המידה של כל האליפסות. זיהוי שגיאות גסות נעשה בצורה הטובה ביותר על ידי בחינת שאריות המדידה עצמן, מתוך הבנה ששגיאה גסה בודדת נוטה לגרום לשאריות גדולות רבות באותו חלק של הרשת.

סיכום:

אם אתם באמת רוצים לדעת את אי-הוודאות של 95% בין שתי נקודות כלשהן A ו-B בסקר שלכם, בצעו את הסקר כולו 1,000 פעמים, חשבו 1,000 זוגות של הפרשי קואורדינטות (Xa-Xb) ו-(Ya-Yb), שרטטו אותם, והתאימו בצורה המיטבית אליפסה הכוללת 950 מתוך 1,000 נקודות הנתונים. הדבר אינו מעשי, ולכן אנו משתמשים במקום זאת בתיאוריות סטטיסטיות כדי להעריך כיצד סקרים חוזרים כאלה ישתנו. שיטת הריבועים הפחותים ואליפסות שגיאה הם עניינים מורכבים, הם תלויים רבות בכנות של המשתמש, ואפליקציות שונות משנות את קנה המידה של השגיאות הסופיות בצורה שונה. עם זאת, כלים אלו הם אוניברסליים (משלבים GNSS, דיסטומט/תחנה כוללת ואיזון בכל תצורת רשת) וגמישים (מדידה בכל סדר – התחלת טופוגרפיה לפני סיום רשת הבקרה), וזו הסיבה שתקני דיוק מודרניים רבים מבוססים עליהם. הם מופיעים גם ביותר מההליכים שלנו, כגון הגדרות חיתוך לאחור (resection) בתחנה כוללת. הם עוד "קופסה שחורה" של העידן המודרני שאנו המודדים אולי לעולם לא נבין לחלוטין, אך עדיין צריכים ללמוד עליה מספיק כדי להשתמש בהם בצורה מוסמכת (במיוחד לגבי גורמי קנה המידה השונים לרמת סמך של 95%).

לבסוף, שמרו על פרופורציות בכל הנוגע לשיטת הריבועים הפחותים ולאליפסות שגיאה. הם לבדם אינם ערובה לסקר טוב, וסקרים טובים רבים נעשו בלעדיהם. עבור גבולות מקרקעין, הם אינם יכולים לומר לכם אם ביצעתם מספיק מחקר וחיפשתם מספיק טוב את הנקודות הנכונות למדידה מלכתחילה, ולא כיצד ליישב את הראיות מהשטח עם ראיות אחרות על מנת לאתר את הגבול. האפליקציה החיונית לכך היא שיקול הדעת המקצועי של מודד מנוסה!